三角形重心定理的性質（三角形重心定理證明）

關于三角形重心定理的性質，三角形重心定理證明這個問題很多朋友還不知道，今天小六來為大家解答以上的問題，現(xiàn)在讓我們一起來看看吧！

1、重心的性質及證明方法　　重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1。

2、 　　三角形ABC，E、F是AB，AC的中點。

3、EC、FB交于G。

4、 　　過E作EH平行BF。

5、 　　AE=BE推出AH=HF=1/2AF 　　AF=CF 　　推出HF=1/2CF 　　推出EG=1/2CG 　　2、重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。

6、 　　證明方法： 　　在▲ABC內，三邊為a，b，c，點O是該三角形的重心，AOABOBCOC1分別為a、b、c邊上的中線根據(jù)重心性質知，OA1=1/3AA1，OB1=1/3BB1，OC1=1/3CC1過O，A分別作a邊上高h1，h可知h1=1/3h 則，S(▲BOC)=1/2×h1a=1/2×1/3ha=1/3S(▲ABC)；同理可證S(▲AOC)=1/3S(▲ABC)，S(▲AOB)=1/3S(▲ABC) 所以，S(▲BOC)=S(▲AOC)=S(▲AOB) 　　3、重心到三角形3個頂點距離的和最小。

7、 (等邊三角形） 　　證明方法： 　　設三角形三個頂點為(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一點為（x，y） 則該點到三頂點距離和為： (x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2 　　=3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2 　　=3(x-1/3*(x1+x2+x3))^2+3(y-1/3(y1+y2+y3))^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2 　　顯然當x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐標）時 　　上式取得最小值x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2 　　最終得出結論。

8、 　　4、在平面直角坐標系中，重心的坐標是頂點坐標的算術平均， 　　即其坐標為((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)； 　　空間直角坐標系——橫坐標：(X1+X2+X3)/3 縱坐標：(Y1+Y2+Y3)/3 豎坐標：（z1+z2+z3）/3 　　5、三角形內到三邊距離之積最大的點。

本文分享完畢，希望對大家有所幫助。

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