黎曼曲面的詳細(xì)描述

關(guān)于黎曼曲面的詳細(xì)描述這個(gè)問(wèn)題很多朋友還不知道，今天小六來(lái)為大家解答以上的問(wèn)題，現(xiàn)在讓我們一起來(lái)看看吧！

1、單值解析函數(shù)的反函數(shù)可以是多值的。

2、例如，冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)為根式函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)，它們都是多值的。

3、另外，從一個(gè)解析函數(shù)元素出發(fā)沿一個(gè)閉曲線(xiàn)作解析開(kāi)拓，最后可能得到不同的元素。

4、因此，完全解析函數(shù)往往是多值的。

5、在研究 多值函數(shù)時(shí)，人們先把它分解為一個(gè)個(gè)單值解析 分支，然后按這些分支之間的關(guān)系把它們連接起來(lái)。

6、 為研究，把擴(kuò)充的復(fù)平面沿正實(shí)軸割開(kāi),記為╦1,它的邊界是兩條正實(shí)軸Л劑和Л奐，分別鑲在第一象限的下邊和第四象限的上邊，在╦1上 令就得到的一個(gè)單值解析分支,它在╦1的內(nèi)部是解析的，并且連續(xù)到邊界Л劑和Л奐上, 但在和同一個(gè)正實(shí)數(shù)x對(duì)應(yīng)的分別位于Л劑 和Л奐上的兩個(gè)點(diǎn)上,卻分別取不同的值。

7、設(shè)╦ 2是另一個(gè)沿正實(shí)軸割開(kāi)的擴(kuò)充的復(fù)平面，它的邊界記為Л崹 和Л崍 。

8、令就得到的另一個(gè)單值解析分支。

9、與不同,在Л崹和Л崍 上與正實(shí)數(shù)x對(duì)應(yīng)的兩個(gè)點(diǎn)處，的值分別是。

10、由于在 Л劑和Л奐上的值分別與在Л崍和Л崹上的值相同，人們自然地把Л劑 和Л崍以及Л奐和Л崹兩兩粘接起來(lái),而把╦1和╦2拼接成一個(gè)整體，這就是的黎曼曲面。

11、作為定義在這個(gè)曲面上的函數(shù),包含了它的兩個(gè)分支，同時(shí)是單值的。

12、替多值函數(shù)構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)亩x場(chǎng)所，而使得它成為一個(gè)完整的單值解析函數(shù),這是黎曼的原始的思想。

13、這樣構(gòu)造出來(lái)的,和lnz的黎曼曲面如圖1所示。

14、 把的黎曼曲面按原來(lái)的位置放在擴(kuò)充的復(fù)平面上就成了擴(kuò)充復(fù)平面的一個(gè)n 葉覆蓋曲面。

15、曲面上的點(diǎn)O和∞叫做n-1級(jí)枝點(diǎn)。

16、同樣,lnz的黎曼曲面是（除去原點(diǎn)后的）復(fù)平面的無(wú)枝點(diǎn)的覆蓋曲面。

17、一般地說(shuō)，復(fù)平面（或擴(kuò)充的復(fù)平面）的任意的一個(gè)覆蓋曲面都可看作一個(gè)黎曼曲面。

18、設(shè)覆蓋曲面中的點(diǎn)P位于復(fù)平面中的點(diǎn)z之上，則稱(chēng)z為P的投影。

19、定義在曲面上的一個(gè)函數(shù)在非枝點(diǎn)處是否解析,就看它作為投影z的函數(shù)是否是解析的；而在投影為z0的n-1級(jí)枝點(diǎn)處,則要看它對(duì)于是否是解析的。

20、這就是黎曼本人的原始的黎曼曲面的概念。

21、黎曼曲面的經(jīng)典理論是在這樣的概念上發(fā)展起來(lái)的。

22、一個(gè)完全解析函數(shù)或完全解析構(gòu)形，把其中以z0為中心的函數(shù)元素看作放在z0上的點(diǎn)，自然就成了擴(kuò)充平面的覆蓋曲面，這就是它的黎曼曲面。

23、一個(gè)代數(shù)函數(shù)w=w(z)的黎曼曲面是擴(kuò)充平面的n葉覆蓋曲面（n為對(duì)應(yīng)的方程中w 的最高次數(shù)）。

24、例如，的黎曼曲面的構(gòu)造如圖2所示。

25、把上下兩個(gè)平面中連接0,1和連接2,3的兩個(gè)線(xiàn)段都割成裂縫，每一裂縫產(chǎn)生兩條邊，分別與平面上半部分和下半部分相連，用實(shí)線(xiàn)與虛線(xiàn)表示。

26、然后把上平面中實(shí)線(xiàn)（虛線(xiàn)）所示的邊和下平面中虛線(xiàn)（實(shí)線(xiàn)）所示的邊粘接起來(lái)。

27、（C.H.）H.外爾首先給出黎曼曲面的近代定義。

28、與此同時(shí)，他也給出了"流形"這個(gè)近代數(shù)學(xué)的基本概念的嚴(yán)格定義。

29、按照外爾的觀點(diǎn)，黎曼曲面就是一維的復(fù)流形。

30、在一個(gè)曲面(局部與歐氏平面同胚的、連通的豪斯多夫空間) 上，定義了一族局部參數(shù)（曲面的某一個(gè)開(kāi)集上的一個(gè)連續(xù)單葉復(fù)值函數(shù)，也叫局部坐標(biāo)），若在任意兩個(gè)相鄰的局部參數(shù)的定義域的公共部分上，其中的一個(gè)參數(shù)作為另一個(gè)參數(shù)的函數(shù)是解析的，并且這些參數(shù)的定義域覆蓋了整個(gè)曲面，那么，這個(gè)曲面連同這族局部參數(shù)（叫做共形結(jié)構(gòu)）就構(gòu)成了一個(gè)黎曼曲面。

31、復(fù)平面C或者C上任一個(gè)區(qū)域按其自然參數(shù)都是黎曼曲面。

32、在擴(kuò)充復(fù)平面╦上，除了在C上已有一個(gè)自然參數(shù)外，再在區(qū)域{z││z│>0}（包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)）上令,得另一參數(shù),而使╦成為一個(gè)黎曼曲面。

33、一個(gè)黎曼曲面到黎曼曲面里的連續(xù)映射稱(chēng)為是解析的，如果它用兩個(gè)曲面上的局部參數(shù)表示出來(lái)是解析函數(shù)。

34、一個(gè)黎曼曲面到 ╦里的解析映射就是該曲面上的半純函數(shù)（亞純函數(shù)）。

35、黎曼曲面上的調(diào)和（或次調(diào)和）函數(shù)的定義為關(guān)于局部參數(shù)是調(diào)和（或次調(diào)和）的函數(shù)。

36、黎曼曲面的引入大大地開(kāi)擴(kuò)了復(fù)變函數(shù)論的研究范圍。

37、 由緊曲面作成的黎曼曲面叫做閉黎曼曲面，否則就叫做開(kāi)黎曼曲面。

38、若一個(gè)閉曲面（或開(kāi)曲面）上的一維同調(diào)群（或模理想邊界的一維同調(diào)群）的秩是2g，則稱(chēng)g (非負(fù)整數(shù)或無(wú)窮)為此黎曼曲面的虧格。

39、開(kāi)曲面的虧格可能為無(wú)窮。

40、兩個(gè)黎曼曲面稱(chēng)為是共形等價(jià)的，如果存在一個(gè)從一個(gè)曲面到另一個(gè)曲面上的一一的解析映射（共形映射）。

41、同一個(gè)虧格g(g>1)的閉黎曼曲面的所有共形等價(jià)類(lèi)組成所謂?？臻g。

42、黎曼首先發(fā)現(xiàn)，?？臻g中的元素由3g-3個(gè)復(fù)參數(shù)確定。

43、從?？臻g的研究中產(chǎn)生出豐富多彩的泰希米勒空間的理論。

44、人們還把開(kāi)黎曼曲面作了分類(lèi)。

45、不存在非常數(shù)的負(fù)次調(diào)和函數(shù)的開(kāi)曲面叫做拋物型曲面，其他的開(kāi)曲面就叫做雙曲型曲面。

46、拋物型曲面所成的類(lèi)用OG表示。

47、不存在非常數(shù)的有界解析或調(diào)和函數(shù)，狄利克雷積分為有窮的解析或調(diào)和函數(shù)，或正調(diào)和函數(shù)的開(kāi)曲面分別組成類(lèi)OAB或OHB，OAD或OHD,或OHP。

48、在這些曲面類(lèi)之間存在如下的包含關(guān)系：按照黎曼本人的原始概念，黎曼曲面是╦ 的覆蓋曲面。

49、所謂曲面愞 是曲面F的覆蓋曲面，是指存在曲面愞到曲面F里的映射?,對(duì)于每一個(gè)慉 ∈愞,都存在慉和?(慉)∈F的開(kāi)鄰 和V，使得限制和V之間，?拓?fù)涞葍r(jià)于單位圓到自身的映射z=zn（n是正整數(shù)，它與慉有關(guān)；當(dāng)n>1時(shí)，慉叫做枝點(diǎn)）。

50、定義中的映射?叫做投影。

51、當(dāng)F是一個(gè)黎曼曲面時(shí)，可使上面的是F 的局部參數(shù)。

52、令z為愞的局部參數(shù),就在愞上定義了一個(gè)共形結(jié)構(gòu),而使它成為一個(gè)黎曼曲面,并且，?是一個(gè)解析映射。

53、一個(gè)完全解析函數(shù)w =g(z)的黎曼曲面就是╦的覆蓋曲面，并按上面的方法賦以共形結(jié)構(gòu)。

54、在這個(gè)曲面上有兩個(gè)半純函數(shù)：把w=g(z)看作曲面上的單值函數(shù),記以w=G(P)；還有從曲面到╦上的投影，記以z=Z(P)，P是曲面上的點(diǎn)。

55、這里的完全解析函數(shù)可以包含極元素和分枝元素，以及分枝的極元素。

56、 　在一個(gè)曲面上有相同的起點(diǎn)和相同的終點(diǎn)的兩條曲線(xiàn)（連續(xù)曲線(xiàn)）уi:t→φi(t)(0≤t≤1,i=1,2) 稱(chēng)為是同倫的,如果存在到這個(gè)曲面里的連續(xù)映射(t,u)→φ(t，u)(0≤t≤1,0≤u≤1)，使得φ(t,0)呏φ1(t),φ(t,1)呏φ2(t),φ(0,u)呏φ1(0),φ(1,u)呏φ1(1)。

57、曲面上固定端點(diǎn)的閉曲線(xiàn)組成的所有同倫等價(jià)類(lèi)以曲線(xiàn)的連接作為乘法運(yùn)算組成一個(gè)群，叫做曲面關(guān)于這個(gè)定點(diǎn)的基本群。

58、關(guān)于不同點(diǎn)的基本群是互相同構(gòu)的。

59、基本群只包含一個(gè)元素的曲面叫做單連通曲面。

60、 　沒(méi)有枝點(diǎn)的覆蓋曲面叫做光滑覆蓋曲面。

61、設(shè)?使愞成為F 的光滑覆蓋曲面。

62、若у=?()，其中的和у分別是愞和F上的曲線(xiàn)，則稱(chēng)是у的提升。

63、若對(duì)于任意的у嶅F和任意的以у的起點(diǎn)為投影的慉∈愞，у的以慉為起點(diǎn)的提升總是存在的，則稱(chēng)愞是F的正規(guī)覆蓋曲面。

64、光滑性保證指定起點(diǎn)的提升的惟一性。

65、單值性定理稱(chēng)：若愞是F的正規(guī)覆蓋曲面,則對(duì)于F上的任意兩條互相同倫的曲線(xiàn)v1和v2以及愞中任意的以v1和v2的公共起點(diǎn)為投影的點(diǎn)慉,v1和у2的以慉為起點(diǎn)的提升和2總有公共的終點(diǎn)，并且,1和2也是同倫的（在 愞上）。

66、復(fù)變函數(shù)論中關(guān)于解析函數(shù)元素沿曲線(xiàn)解析開(kāi)拓的單值性定理是這個(gè)定理的一個(gè)具體應(yīng)用。

67、 　單連通的正規(guī)覆蓋曲面叫做萬(wàn)有覆蓋曲面。

68、對(duì)于任意的一個(gè)曲面F，它的萬(wàn)有覆蓋曲面愞總是存在而且在共形等價(jià)的意義下是惟一的。

69、當(dāng)F是一個(gè)黎曼曲面時(shí),可使愞也成為一個(gè)黎曼曲面，而投影?是解析映射。

70、著名的單值化定理稱(chēng)：?jiǎn)芜B通的黎曼曲面一定共形等價(jià)于 ╦(閉)、C（拋物型）或單位圓（雙曲型）。

71、若愞=╦，則F=╦。

72、如果愞 =C，則F =C,C {0}, 或是環(huán)面（環(huán)面就是虧格為1的閉曲面；反過(guò)來(lái), 環(huán)面的萬(wàn)有覆蓋（黎曼）曲面一定是C）。

73、當(dāng)愞是單位圓時(shí)，所有滿(mǎn)足?。

74、φ=? 的共形映射φ（叫做覆蓋變換）組成一個(gè)富克斯群。

75、因此，除去上面幾種特例外，每一個(gè)黎曼曲面都可表示成單位圓關(guān)于一個(gè)富克斯群的商；因而,分式線(xiàn)性變換組成的間斷群(即克萊因群,包括富克斯群)的理論和黎曼曲面理論有緊密的聯(lián)系。

76、若這里的F是完全解析函數(shù)w=g(z)的黎曼曲面，則G(?(t))和Z(?(t))（t∈╦，C，或單位圓）都是半純函數(shù)，多值函數(shù)w=g(z)經(jīng)參數(shù)t（叫做單值化參數(shù)）單值化了。

77、從而就解決了著名的希爾伯特第22問(wèn)題即單值化問(wèn)題。

78、 　在一個(gè)黎曼曲面上,若對(duì)每一個(gè)局部參數(shù)z都定義了一個(gè)微分?(z)dz（?(z)是半純函數(shù)）, 而與相鄰的兩個(gè)參數(shù)z和ζ 對(duì)應(yīng)的?(z)dz和φ(ζ)dζ 滿(mǎn)足關(guān)系?(z(ζ))·z┡(ζ)=φ(ζ),則稱(chēng)在曲面上定義了一個(gè)半純微分。

79、半純函數(shù)(或半純微分)在某一點(diǎn)的零點(diǎn)或極點(diǎn)的級(jí)等于在取定一個(gè)局部參數(shù)后該函數(shù)（或該微分在這個(gè)參數(shù)下的表示形式中的系數(shù)）作為這個(gè)局部參數(shù)的函數(shù)在該點(diǎn)的零點(diǎn)和極點(diǎn)的級(jí)。

80、黎曼－羅赫定理稱(chēng):在一個(gè)虧格為g的閉曲面上，指定了點(diǎn)p1,p2,…,ps;q1,q2,…,qt和正整數(shù)k1,k2,…,ks;n1,n2,…,nt,令。

81、設(shè)以pi為至多ki級(jí)極點(diǎn)(或至少ki級(jí)零點(diǎn)，i=1,2,…,s)，并且以qi為至少ni級(jí)零點(diǎn)（或至多ni級(jí)極點(diǎn)，i=1，2,…，t）的所有半純函數(shù)(或半純微分)組成的復(fù)數(shù)域上的線(xiàn)性空間的維數(shù)為A（或B），那么，A=B +m-g+1。

82、這個(gè)定理是閉黎曼曲面理論的一個(gè)基本結(jié)果；在一定條件下，也被推廣到開(kāi)曲面和高維復(fù)流形。

本文分享完畢，希望對(duì)大家有所幫助。

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