三次方程求根公式及推導(dǎo)（三次方程求根公式）

關(guān)于三次方程求根公式及推導(dǎo)，三次方程求根公式這個(gè)問(wèn)題很多朋友還不知道，今天小六來(lái)為大家解答以上的問(wèn)題，現(xiàn)在讓我們一起來(lái)看看吧！

1、ax^3+bx^2+cx+d的標(biāo)準(zhǔn)型 化成 x^3+(b/a)x^2+(c/a)x+(d/a)=0 可以寫成 x^3+a1*x^2+a2*x+a3=0 其中a1=b/a,a2=c/a,a3=d/a 令y=x-a1/3 則y^3+px+q=0 其中p=-(a1^2/3)+a2 q=(2a1^3/27)-(a1*a2)/3+a32)用方程x^3=1的解為x1=1,x2=-1/2+i√3/2=ω,x3=-1/2-i√3/2=ω^2 2、方程x^3=A的解為x1=A（1/3）,x2=A^(1/3)*ω,x3= A^(1/3)*ω^2 3、一般三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0),兩邊同時(shí)除以a,可變成x^3+ax^2+bx+c=0的形式。

2、再令x=y-a/3,代入可消去次高項(xiàng)，變成x^3+px+q=0的形式。

3、 設(shè)x=u+v是方程x^3+px+q=0的解，代入整理得： (u+v)(3uv+p)+u^3+v^3+q=0 ① 如果u和v滿足uv=-p/3,u^3+v^3=-q則①成立，由一元二次方程韋達(dá)定理u^3和V^3是方程 y^2+qy-p^3/27=0的兩個(gè)根。

4、 解之得，y=-q/2±(q^2/4+p^3/27)^(1/2) 不妨設(shè)A=-q/2-(q^2/4+p^3/27)^(1/2),B=-q/2+(q^2/4+p^3/27)^(1/2) 則u^3=A,v^3=B u= A（1/3）或者A^(1/3)*ω或者A^(1/3)*ω^2 v= B（1/3）或者B^(1/3)*ω或者B^(1/3)*ω^2 但是考慮到uv=-p/3，所以u(píng)、v只有三組解： u1= A（1/3）,v1= B（1/3） u2=A^(1/3)*ω,v2=B^(1/3)*ω^2 u3=A^(1/3)*ω^2,v3=B^(1/3)*ω 那么方程x^3+px+q=0的三個(gè)根也出來(lái)了，即 x1=u1+v1= A（1/3）+B（1/3） x2= A^(1/3)*ω+B^(1/3)*ω^2 x3= A^(1/3)*ω^2+B^(1/3)*ω 這正是著名的卡爾丹公式。

5、你直接套用就可以求解了。

6、 △=q^2/4+p^3/27為三次方程的判別式。

7、 當(dāng)△>=0時(shí)，有一個(gè)實(shí)根和兩個(gè)共軛復(fù)根； 當(dāng)△<0時(shí)，有三個(gè)實(shí)根。

8、 根與系數(shù)關(guān)系是：設(shè)ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0）的三根為x1,x2,x3, 則x1+x2+x3=-b/a,x1x2+x2x3+x1x3=c/a,x1x2x3=-d/a.。

本文分享完畢，希望對(duì)大家有所幫助。

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