第二次數(shù)學(xué)危機(jī)因?yàn)檎l(shuí)（第二次數(shù)學(xué)危機(jī)）

關(guān)于第二次數(shù)學(xué)危機(jī)因?yàn)檎l(shuí)，第二次數(shù)學(xué)危機(jī)這個(gè)問(wèn)題很多朋友還不知道，今天小六來(lái)為大家解答以上的問(wèn)題，現(xiàn)在讓我們一起來(lái)看看吧！

1、第二次數(shù)學(xué)危機(jī)大家知道，在公元前5世紀(jì)出現(xiàn)了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的第一次災(zāi)難性危機(jī)，這就是無(wú)理數(shù)的誕生。

2、這次危機(jī)的產(chǎn)生和解決大大地推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。

3、到了17世紀(jì)的后期，出現(xiàn)了一次嶄新的數(shù)學(xué)分支——數(shù)學(xué)分析，或稱微積分。

4、它在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中占據(jù)著主導(dǎo)地位，這種新數(shù)學(xué)的特點(diǎn)是，非常成功地運(yùn)用了無(wú)限過(guò)程的運(yùn)算，即極限運(yùn)算，而其中的微分和積分這兩個(gè)過(guò)程則構(gòu)成了微分學(xué)和積分學(xué)的核心，并奠定了全部分析學(xué)的基礎(chǔ)。

5、微積分誕生之后，數(shù)學(xué)迎來(lái)了一次空前的繁榮時(shí)期。

6、18世紀(jì)被稱為數(shù)學(xué)史上的英雄世紀(jì)。

7、這個(gè)時(shí)期的數(shù)學(xué)家們?cè)趲缀鯖](méi)有邏輯支持的前提下，勇于開(kāi)拓并征服了眾多的科學(xué)領(lǐng)域。

8、它們把微積分應(yīng)用于天文學(xué)、力學(xué)、光學(xué)、熱學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域，并獲得了豐碩的成果。

9、人們用微分學(xué)的理論發(fā)現(xiàn)了哈蕾彗星，用積分學(xué)的理論可以計(jì)算任意平面圖形的面積，只要知道包圍這個(gè)圖形的曲線方程。

10、在數(shù)學(xué)本身它們又發(fā)展了微分方程的理論，無(wú)窮級(jí)數(shù)的理論，大大地?cái)U(kuò)展了數(shù)學(xué)研究的范圍。

11、盡管當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家們知道他們的微積分的概念是不清楚的，證明也是不充分的，但是由于許多結(jié)果為經(jīng)驗(yàn)和觀測(cè)所證實(shí)，使得他們自信他們?cè)谌狈壿嬛赋龅幕A(chǔ)上得出的的微積分的結(jié)論是正確的。

12、于是在微積分的發(fā)展過(guò)程中，出現(xiàn)了這樣的局面：一方面是成果豐碩，另一方面是基礎(chǔ)的不穩(wěn)固，出現(xiàn)了越來(lái)越多的謬論和悖論。

13、微積分薄弱的基礎(chǔ)遭到了許多數(shù)學(xué)家和非數(shù)學(xué)家們的爭(zhēng)論和批評(píng)。

14、即使是兩位微積分的創(chuàng)立者牛頓和萊布尼茲本人也對(duì)此學(xué)科的基本概念也不滿意。

15、數(shù)學(xué)的發(fā)展又遇到了深刻的令人不安的危機(jī)。

16、由微積分的基礎(chǔ)所引發(fā)的危機(jī)在數(shù)學(xué)史上稱為第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。

17、當(dāng)時(shí)著名的唯心主義哲學(xué)家貝克萊主教（Bishop George Berkeley，1685～1753）對(duì)牛頓的導(dǎo)數(shù)定義進(jìn)行了批判。

18、現(xiàn)在我們知道導(dǎo)數(shù)的定義是這樣的：函數(shù) 對(duì) 的導(dǎo)數(shù)定義為極限 而當(dāng)時(shí)牛頓的導(dǎo)數(shù)定義（他當(dāng)時(shí)稱為流數(shù)）是這樣的： 當(dāng) 增長(zhǎng)為 時(shí)，冪 成為 或 , 與 的增量分別為 和 ，這兩個(gè)增量與 的增量 的比分別為1與 ，然后讓增量消失，則它們的最后比將為1與 ，從而 對(duì) 的變化率為 。

19、我們知道這個(gè)結(jié)果是正確的，但是推導(dǎo)過(guò)程確實(shí)存在明顯的偷換假設(shè)的錯(cuò)誤：在論證的前一部分假設(shè) 是不為0 的，而在論證的后一部分又被取為0 。

20、那么到底 是不是0呢？這就是著名的《貝克萊悖論》。

21、不僅當(dāng)時(shí)導(dǎo)數(shù)的定義中出現(xiàn)了悖論，在無(wú)窮級(jí)數(shù)的理論中也出現(xiàn)了許多悖論。

22、如級(jí)數(shù)那么 如果我們把級(jí)數(shù)以一種方法分組，我們有 如果按另一種方法分組，我們有 L.G.格蘭迪（Grandi，1671－1742）說(shuō)，因?yàn)?和1是等可能的，所以級(jí)數(shù)的和應(yīng)為平均數(shù)1/2。

23、 這樣的悖論日益增多，數(shù)學(xué)家們?cè)谘芯繜o(wú)窮級(jí)數(shù)的時(shí)候，作出許多錯(cuò)誤的證明，并由此得到許多錯(cuò)誤的結(jié)論。

24、 因此在18世紀(jì)結(jié)束之際，微積分和建立在微積分基礎(chǔ)之上的分析的其它分支的邏輯處于一種完全混亂的狀態(tài)之中。

25、事實(shí)上，可以說(shuō)微積分在基礎(chǔ)方面的狀況比17世紀(jì)更差。

26、數(shù)學(xué)巨匠，尤其是歐拉和拉格朗日給出了不正確的邏輯基礎(chǔ)，因?yàn)樗鼈兪菣?quán)威，所以它們的錯(cuò)誤就被其它的數(shù)學(xué)家不加批評(píng)地接受了，甚至作了進(jìn)一步的發(fā)展。

27、 進(jìn)入19世紀(jì)，數(shù)學(xué)陷入了更加矛盾的境地。

28、雖然它在描述和預(yù)測(cè)物理現(xiàn)象方面所取得的成就遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出人們的預(yù)料，但是大量的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)沒(méi)有邏輯基礎(chǔ)，因此不能保證數(shù)學(xué)是正確無(wú)誤的。

29、歷史要求給微積分以嚴(yán)格的基礎(chǔ)。

30、 第一個(gè)為補(bǔ)救第二次數(shù)學(xué)危機(jī)提出真正有見(jiàn)地的意見(jiàn)的是達(dá)朗貝爾。

31、他在1754年指出，必須用可靠的理論去代替當(dāng)時(shí)使用的粗糙的極限理論。

32、但是他本人未能提供這樣的理論。

33、拉格朗日為了避免使用無(wú)窮小推理和當(dāng)時(shí)還不明確的極限概念，曾試圖把整個(gè)微積分建立在泰勒展式的基礎(chǔ)上。

34、但是，這樣一來(lái)，考慮的函數(shù)的范圍太窄了，而且不用極限概念也無(wú)法討論無(wú)窮級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題，所以，拉格朗日的以冪級(jí)數(shù)為工具的代數(shù)方法也未能解決微積分的奠基問(wèn)題。

35、 到了19世紀(jì)，出現(xiàn)了一批杰出的數(shù)學(xué)家，他們積極為微積分的奠基工作而努力。

36、首先要提到的是捷克的哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家波爾查諾，他開(kāi)始將嚴(yán)格的論證引入到數(shù)學(xué)分析中。

37、1816年，他在二項(xiàng)展開(kāi)公式的證明中，明確提出了級(jí)數(shù)收斂的概念，同時(shí)對(duì)極限、連續(xù)和變量有了較深入的理解。

38、分析學(xué)的奠基人，公認(rèn)是法國(guó)的多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家柯西，柯西在數(shù)學(xué)分析和置換群理論方面作了開(kāi)拓性的工作，是最偉大的近代數(shù)學(xué)家之一。

39、柯西在1821～1823年間出版的《分析教程》和《無(wú)窮小計(jì)算講義》是數(shù)學(xué)史上劃時(shí)代的著作，在那里，他給出了數(shù)學(xué)分析一系列基本概念的精確定義。

40、例如，他給出了精確的極限定義，然后用極限定義連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、微分、定積分和無(wú)窮級(jí)數(shù)的收斂性。

41、接著，魏爾斯特拉斯引進(jìn)了精確的“ ”的極限定義。

42、這樣，微積分就建立在嚴(yán)格的極限理論的基礎(chǔ)上了。

43、今天我們微積分課本中使用的定義，基本上就是柯西的，不過(guò)現(xiàn)在寫(xiě)得更加嚴(yán)格一點(diǎn)。

本文分享完畢，希望對(duì)大家有所幫助。

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