負(fù)定矩陣和負(fù)半定矩陣（負(fù)定矩陣）

關(guān)于負(fù)定矩陣和負(fù)半定矩陣，負(fù)定矩陣這個(gè)問(wèn)題很多朋友還不知道，今天小六來(lái)為大家解答以上的問(wèn)題，現(xiàn)在讓我們一起來(lái)看看吧！

1、一. 定義 因?yàn)檎ǘ涡团c正定矩陣有密切的聯(lián)系，所以在定義正定矩陣之前，讓我們先定義正定二次型: 設(shè)有二次型 ,如果對(duì)任何x 0都有f(x)>0( 0) ，則稱f(x) 為正定(半正定)二次型。

2、 相應(yīng)的，正定(半正定)矩陣和負(fù)定(半負(fù)定)矩陣的定義為: 令A(yù)為 階對(duì)稱矩陣，若對(duì)任意n 維向量 x 0都有 ＞0(≥0)則稱A正定(半正定)矩陣;反之，令A(yù)為n 階對(duì)稱矩陣，若對(duì)任意 n 維向量 x≠0 ,都有 ＜0(≤ 0)， 則稱A負(fù)定(半負(fù)定)矩陣。

3、 例如，單位矩陣E 就是正定矩陣。

4、 二. 正定矩陣的一些判別方法 由正定矩陣的概念可知，判別正定矩陣有如下方法: 1.n階對(duì)稱矩陣A正定的充分必要條件是A的 n 個(gè)特征值全是正數(shù)。

5、 證明:若 ， 則有 ∴λ＞0 反之，必存在U使 即 有 這就證明了A正定。

6、 由上面的判別正定性的方法，不難得到A為半正定矩陣的充要條件是:A的特征值全部非負(fù)。

7、 2.n階對(duì)稱矩陣A正定的充分必要條件是A合同于單位矩陣E。

8、 證明:A正定 二次型 正定 A的正慣性指數(shù)為n 3.n階對(duì)稱矩陣A正定(半正定)的充分必要條件是存在 n階可逆矩陣U使 ;進(jìn)一步有 (B為正定(半正定)矩陣)。

9、 證明:n階對(duì)稱矩陣A正定，則存在可逆矩陣U使 令 則 令 則 反之， ∴A正定。

10、 同理可證A為半正定時(shí)的情況。

11、 4.n階對(duì)稱矩陣A正定，則A的主對(duì)角線元素 ，且 。

12、 證明:(1)∵n階對(duì)稱矩陣A正定 ∴ 是正定二次型 現(xiàn)取一組不全為0 的數(shù)0,…,0,1,0…0(其中第I個(gè)數(shù)為1)代入，有 ∴ ∴A正定 ∴存在可逆矩陣C ，使 5.n階對(duì)稱矩陣A正定的充分必要條件是:A的 n 個(gè)順序主子式全大于零。

13、 證明:必要性: 設(shè)二次型 是正定的 對(duì)每個(gè)k,k=1,2,…,n,令 ， 現(xiàn)證 是一個(gè)k元二次型。

14、 ∵對(duì)任意k個(gè)不全為零的實(shí)數(shù) ，有 ∴ 是正定的 ∴ 的矩陣 是正定矩陣 即 即A的順序主子式全大于零。

15、 充分性: 對(duì)n作數(shù)學(xué)歸納法 當(dāng)n=1時(shí)， ∵ ， 顯然 是正定的。

16、 假設(shè)對(duì)n-1元實(shí)二次型結(jié)論成立，現(xiàn)在證明n元的情形。

17、 令 ， ， ∴A可分塊寫(xiě)成 ∵A的順序主子式全大于零 ∴ 的順序主子式也全大于零 由歸納假設(shè)， 是正定矩陣即，存在n-1階可逆矩陣Q使 令 ∴ 再令 ， 有 令 ， 就有 兩邊取行列式，則 由條件 得a＞0 顯然 即A合同于E ， ∴A是正定的。

18、 三. 負(fù)定矩陣的一些判別方法 1.n階對(duì)稱矩陣A是負(fù)定矩陣的充分必要條件是A的負(fù)慣性指數(shù)為n。

19、 2.n階對(duì)稱矩陣A是負(fù)定矩陣的充分必要條件是A的特征值全小于零。

20、 3.n階對(duì)稱矩陣A是負(fù)定矩陣的充分必要條件是A的順序主子式 滿足 ， 即奇數(shù)階順序主子式全小于零，偶數(shù)階順序主子式全大于零。

21、 由于A是負(fù)定的當(dāng)且僅當(dāng)-A是正定的，所以上敘結(jié)論不難從正定性的有關(guān)結(jié)論直接得出，故證明略。

22、 四.半正定矩陣的一些判別方法 1. n階對(duì)稱矩陣A是半正定矩陣的充分必要條件是A的正慣性指數(shù)等于它的秩。

23、 2. n階對(duì)稱矩陣A是半正定矩陣的充分必要條件是A的特征值全大于等于零，但至少有一個(gè)特征值等于零。

24、 3. n階對(duì)稱矩陣A是負(fù)定矩陣的充分必要條件是A的各階主子式全大于等于零，但至少有一個(gè)主子式等于零。

25、 注:3中指的是主子式而不是順序主子式，實(shí)際上，只有順序主子式大于等于零并不能保證A是半正定的，例如: 矩陣 的順序主子式 ， ， ， 但A并不是半正定的。

26、 關(guān)于半負(fù)定也有類似的定理，這里不再寫(xiě)出。

本文分享完畢，希望對(duì)大家有所幫助。

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