周期函數(shù)的常用結(jié)論證明（周期函數(shù)的常用結(jié)論）

關(guān)于周期函數(shù)的常用結(jié)論證明，周期函數(shù)的常用結(jié)論這個(gè)問(wèn)題很多朋友還不知道，今天小六來(lái)為大家解答以上的問(wèn)題，現(xiàn)在讓我們一起來(lái)看看吧！

1、下面是周期函數(shù)性質(zhì) (1)若T(≠0)是f(X)的周期，則-T也是f(X)的周期。

2、 (2)若T(≠0)是f(X)的周期，則nT(n為任意非零整數(shù))也是f(X)的周期。

3、 (3)若T1與T2都是f(X)的周期，則T1±T2也是f(X)的周期。

4、 (4)若f(X)有最小正周期T*，那么f(X)的任何正周期T一定是T*的正整數(shù)倍。

5、 (5)T*是f(X)的最小正周期，且TT2分別是f(X)的兩個(gè)周期，則 (Q是有理數(shù)集) (6)若TT2是f(X)的兩個(gè)周期，且T1/T2是無(wú)理數(shù)，則f(X)不存在最小正周期。

6、 (7)周期函數(shù)f(X)的定義域M必定是雙方無(wú)界的集合。

7、 編輯本段周期函數(shù)的判定定理1 若f(X)是在集M上以T*為最小正周期的周期函數(shù)則K f(X)+C(K≠0)和1/ f(X)分別是集M和集{X/ f(X) ≠0，X }上的以T*為最小正周期的周期函數(shù)。

8、 [1] 證: ∵T*是f(X)的周期，∴對(duì) 有X±T* 且f(X+T*)= f(X)，∴K f(X)+C=K f(X+T*)+C， ∴K f(X)+C也是M上以T*為周期的周期函數(shù)。

9、 假設(shè)T* 不是Kf(X)+C的最小正周期，則必存在T’( 0＜T’＜T*)是K f(X)+C的周期，則對(duì) ， 有K f(X+T’)+C=K f(X) +C K[f(X+T’)- f(X)]=0，∵K≠0，∴f(X+T’)- f(X)=0，∴f(X+T’)= f(X)， ∴T’是f(X)的周期，與T*是f(X)的最小正周期矛盾，∴T*也是K f(X)+C的最小正周期。

10、 同理可證1/ f(X)是集{X/ f(X) ≠0，X }上的以T*為最小正周期的周期函數(shù)。

11、 定理2 若f(X)是集M上以T*為最小正周期的周期函數(shù)，則f(aX+n)是集{X/aX+ n }上的以T*/ 為最小正周期的周期函數(shù)，(其中a、b為常數(shù))。

12、 證: 先證 是f(ax+b)的周期 ∵T*是f(X)的周期，∴ ，有X±T*∈M，∴a(X )+b=ax+b ±T*∈M，且f[a(X+ T )+b]=f(ax+b±T*)=f(ax+b)∴ 是f(ax+b)的周期。

13、 再證 是f(ax+b)的最小正周期 假設(shè)存在T’(0＜T’＜ )是f(ax+b)的周期， 則f(a(x+T’)+b)=f(ax+b)，即f(ax+b+aT’)=f(ax+b)， 因當(dāng)X取遍{X/X∈M,ax+b∈M}的各數(shù)時(shí),ax+b就取遍M所有的各數(shù)， ∴aT’是f(X)的周期，但 ＜=T*這與T*是f(X)的最小正周期矛盾。

14、 定理3 設(shè)f(u)是定義在集M上的函數(shù)u=g(x)是集M1上的周期函數(shù)，且當(dāng)X∈M1時(shí)，g(x)∈M，則復(fù)合函數(shù)f(g(x))是M1上的周期函數(shù)。

15、 證: 設(shè)T是u=g(x)的周期，則 1有(x±T)∈M1且g(x+T)=g(x) ∴f(g(x+T))=f(g(x)) ∴=f(g(x))是M1上的周期函數(shù)。

16、 例1 設(shè)=f(u)=u2是非周期函數(shù)，u= g(X)=cosx是實(shí)數(shù)集R上的周期函數(shù)，則f(g(x))=cos2x是R上的周期函數(shù)。

17、 同理可得:(1)f(X)=Sin(cosx)，(2)f(X)=Sin(tgx)，(3)f(X)=Sin2x，(4)f(n)=Log2Sinx(sinx＞0)也都是周期函數(shù)。

18、 例2 f(n)=Sinn是周期函數(shù)，n=g(x)=ax+b(a≠0)是非周期函數(shù)，f(g(x))=Sin(ax+b)是周期函數(shù)(中學(xué)數(shù)學(xué)中已證)。

19、 例3 f(n)=cosn是周期函數(shù)，n=g(x)= (非周期函數(shù))而f(g(x))=cos 是非周期函數(shù)。

20、 證:假設(shè)cos 是周期函數(shù)，則存在T＞0使cos (k∈Z) 與定義中T是與X無(wú)關(guān)的常數(shù)矛盾， ∴cos 不是周期函數(shù)。

21、 由例2、例3說(shuō)明，若f(u)是周期函數(shù)，u= g(X)是非周期函數(shù)，這時(shí)f(g(x))可能是，也可能不是周期函數(shù)。

22、 定理4 設(shè)f1(X)、f2(X)都是集合M上的周期函數(shù)，TT2分別是它們的周期，若T1/T2∈Q則它們的和差與積也是M上的周期函數(shù)，T1與T2的公倍 數(shù)為它們的周期。

23、 證: 設(shè) ((p?q)=1)設(shè)T=T1q=T2p則有: 有(x±T)=(x±T1q)=(x±T2p)∈M，且f1(x+T) ±f2(x+T)= f1(x+T1q) ±f2(x+T2p)= f1(X)±f2(X) ∴f1(X) ±f2(X)是以T1和T2的公倍數(shù)T為周期的周期函數(shù)。

24、同理可證:f1(X) 、f2(X)是以T為周期的周期函數(shù)。

25、 定理4推論 設(shè)f1(X) 、f2(X)……fn(X) 是集M上的有限個(gè)周期函數(shù)TT2……Tn分別是它們的周期，若， … (或T1，T2……Tn中任意兩個(gè)之比)都是有理數(shù)，則此n個(gè)函數(shù)之和、差、積也是M上的周期函數(shù)。

26、 例4 f(X)=Sinx-2cos2x+sin4x是以2π、π、π/2的最小公倍 數(shù)2π為周期的周期函數(shù)。

27、 例5 討論f(X)= 的周期性 解:2tg3 是以T1= 為最小正周期的周期函數(shù)。

28、 5tg 是以T2 為最小正周期的周期函數(shù)。

29、 tg2 是以T3= 為最小正周期的周期函數(shù)。

30、 又 都是有理數(shù) ∴f(X)是以TT2、T3最小公倍數(shù)(TT2、T3)= 為最小正周期的周期函數(shù)。

31、 同理可證: (1)f(X)=cos ; (2)f(x)=sin2xcos2x+cos2xcos3x+cos3xsin3x。

32、是周期函數(shù)。

33、 定理5 設(shè)f1(x)=sin a1x，f2(x)=cosa2x，則f1(x)與f2(x)之和、差、積是周期函數(shù)的充要條件是a1/a2∈Q。

34、 證 先證充分性: 若a1/a2∈Q，設(shè)TT2分別為f1(x)與f2(x)的最小正周期，則T1= 、T2= ，又 ∈Q 由定理4可得f1(x)與f2(x)之和、差、積是周期函數(shù)。

35、 再證必要性(僅就f1(x)與f2(x)的差和積加以證明)。

36、 (1)設(shè)sina1x-cosa2x為周期函數(shù)，則必存在常數(shù)T＞0， 使sina1(x+T)-sina1x=cosa2(x+T)-cosa2x 2cos(a1x+ )sin = -2sin s(a2x+ ) sin (1)。

37、 令x= 得2cos(a1x+ )，則 (K∈Z)。

38、(2) 或 C∈Z(3) 又在(1)中令 2sin(a2x+ )sin =-2sin =0 由(4) 由sin (5) 由上述(2)與(3)，(4)與(5)都分別至少有一個(gè)成立。

39、 由(3)、(5得 )(6) ∴無(wú)論(2)、(4)、(6)中那一式成立都有a1/a2 。

40、 (2)設(shè)sinaxcosa2x為周期函數(shù)，則 是周期函數(shù)。

41、 編輯本段非周期函數(shù)的判定 [1](1)若f(X)的定義域有界 例:f(X)=cosx( ≤10)不是周期函數(shù)。

42、 (2)根據(jù)定義討論函數(shù)的周期性可知非零實(shí)數(shù)T在關(guān)系式f(X+T)= f(X)中是與X無(wú)關(guān)的，故討論時(shí)可通過(guò)解關(guān)于T的方程f(X+T)- f(X)=0，若能解出與X無(wú)關(guān)的非零常數(shù)T便可斷定函數(shù)f(X)是周期函數(shù)，若這樣的T不存在則f(X)為非周期函數(shù)。

43、 例:f(X)=cos 是非周期函數(shù)。

44、 (3)一般用反證法證明。

45、(若f(X)是周期函數(shù)，推出矛盾，從而得出f(X)是非周期函數(shù))。

46、 例:證f(X)=ax+b(a≠0)是非周期函數(shù)。

47、 證:假設(shè)f(X)=ax+b是周期函數(shù)，則存在T(≠0)，使對(duì) ，a(x+T)+b=ax+b ax+aT-ax=0 aT=0 又a≠0，∴T=0與T≠0矛盾，∴f(X)是非周期函數(shù)。

48、 例:證f(X)= 是非周期函數(shù)。

49、 證:假設(shè)f(X)是周期函數(shù)，則必存在T(≠0)對(duì) ，有(x+T)= f(X)，當(dāng)x=0時(shí)，f(X)=0，但x+T≠0, ∴f(x+T)=1，∴f(x+T) ≠f(X)與f(x+T)= f(X)矛盾，∴f(X)是非周期函數(shù)。

50、 例:證f(X)=sinx2是非周期函數(shù) 證:若f(X)= sinx2是周期函數(shù)，則存在T(＞0)，使對(duì) ，有sin(x+T)2=sinx2，取x=0有sinT2=sin0=0，∴T2=Kπ(K∈Z)，又取X= T有sin( T+T)2=sin( T)2=sin2kπ=0，∴( +1)2 T2=Lπ(L∈Z+)，∴ 與3+2 是無(wú)理數(shù)矛盾，∴f(X)=sinx2是非周期函數(shù)。

本文分享完畢，希望對(duì)大家有所幫助。

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