勾股定理的證明視頻（勾股定理的證明）

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1、定理許證明其證明能數(shù)眾定理路明思(Elisha Scott Loomis) Pythagorean Proposition( 《畢達(dá)哥拉斯命題》)書總共提367種證明式 嘗試三角恒等式(例:弦余弦函數(shù)泰勒級數(shù))證明勾股定理所基本三角恒等式都建基于勾股定理所能作勾股定理證明(參見循環(huán)論證)【證1】(梅文鼎證明) 作四全等直角三角形設(shè)兩條直角邊別a、b 斜邊c. 拼圖邊形使D、E、F條直線. C作AC延線交DF于點P. ∵ D、E、F條直線, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90° ∴ ∠BED + ∠GEF = 90° ∴ ∠BEG =180°―90°= 90° ∵ AB = BE = EG = GA = c ∴ ABEG邊c形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90° ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90° 即 ∠CBD= 90° ∵ ∠BDE = 90°∠BCP = 90° BC = BD = a. ∴ BDPC邊a形. 同理HPFG邊b形. 設(shè)邊形GHCBE面積S則 , ∴ BDPC面積SHPFG面積S由推:a^2+b^2=c^2 【證2】(項明達(dá)證明) 作兩全等直角三角形設(shè)兩條直角邊別a、b(b>a) 斜邊c. 再做邊c形. 拼圖所示邊形使E、A、C三點條直線. 點Q作QP‖BC交AC于點P. 點B作BM⊥PQ垂足M;再點 F作FN⊥PQ垂足N. ∵ ∠BCA = 90°QP‖BC ∴ ∠MPC = 90° ∵ BM⊥PQ ∴ ∠BMP = 90° ∴ BCPM矩形即∠MBC = 90°. ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = ° ∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90° ∴ ∠QBM = ∠ABC ∵ ∠BMP = 90°∠BCA = 90°BQ = BA = c ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA. 同理證RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即a^2+b^2=c^2【證3】(趙浩杰證明) 作兩全等直角三角形設(shè)兩條直角邊別a、b(b>a) 斜邊c. 再做邊c形. 拼圖所示邊形. 別CFAE邊做形FCJIAEIG ∵EF=DF-DE=b-aEI=b ∴FI=a ∴G,I,J同直線 ∵CJ=CF=aCB=CD=c ∠CJB = ∠CFD = 90° ∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD 同理RtΔABG ≌ RtΔADE ∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE ∴∠ABG = ∠BCJ, ∵∠BCJ +∠CBJ= 90°, ∴∠ABG +∠CBJ= 90°, ∵∠ABC= 90°, ∴G,B,I,J同直線 所a^2+b^2=c^2【證4】(歐幾證明) 作三邊別a、b、c形拼圖所示形狀使H、C、B三點條直線連結(jié) BF、CD. C作CL⊥DE 交AB于點M交DE于點L. ∵ AF = ACAB = AD ∠FAB = ∠GAD ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD ∵ ΔFAB面積等于 ΔGAD面積等于矩形ADLM 面積半 ∴ 矩形ADLM面積 =. 同理證矩形MLEB面積 =. ∵ 形ADEB面積 = 矩形ADLM面積 + 矩形MLEB面積 ∴ 即a平+b平=c平【證5】歐幾證 《幾何原本》證明 歐幾《幾何原本》書提勾股定理由證明立 設(shè)△ABC直角三角形其A直角A點劃直線至邊使其垂直于邊形線邊形二其面積別與其余兩形相等 式證明我需要四輔助定理: 兩三角形兩組應(yīng)邊兩組邊所夾角相等則兩三角形全等(SAS定理) 三角形面積任同底同高平行四邊形面積半 任意形面積等于其二邊乘積 任意四形面積等于其二邊乘積(據(jù)輔助定理3) 證明概念:兩形轉(zhuǎn)換兩同等面積平行四邊形再旋轉(zhuǎn)并轉(zhuǎn)換兩同等面積形 其證明: 設(shè)△ABC直角三角形其直角CAB 其邊BC、AB、CA依序繪四形CBDE、BAGFACIH 畫點ABD、CE平行線線別與BCDE直角相交于K、L 別連接CF、AD形兩三角形BCF、BDA ∠CAB∠BAG都直角C、A G 都線性應(yīng)同理證B、AH ∠CBD∠FBA皆直角所∠ABD等于∠FBC AB BD 別等于 FB BC所△ABD 必須相等于△FBC A 與 K L線性應(yīng)所四形 BDLK 必須二倍面積于△ABD C、AG共同線性所形BAGF必須二倍面積于△FBC 四邊形 BDLK 必須相同面積 BAGF = AB^2 同理證四邊形 CKLE 必須相同面積 ACIH = AC^2 兩結(jié)相加 AB^2+ AC^2; = BD×BK + KL×KC 由于BD=KLBD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由于CBDE形AB^2 + AC^2= BC^2 證明于歐幾《幾何原本》書第1.47節(jié)所提《周髀算經(jīng)》勾股定理公式與證明 《周髀算經(jīng)》算經(jīng)十書約書于公元前二世紀(jì)原名《周髀》我古文著作主要闡明蓋說四歷唐初規(guī)定監(jiān)明算科教材故改名《周髀算經(jīng)》 首先《周髀算經(jīng)》明確記載勾股定理公式:若求邪至者句高股句股各自乘并除邪至(《周髀算經(jīng)》卷二) 勾股定理證明呢《周髀算經(jīng)》卷[2] -- 昔者周公問于商高曰:竊聞乎夫善數(shù)請問昔者包犧立周歷度--夫階升尺寸度請問數(shù)安 商高曰:數(shù)于圓圓于于矩矩于九九八十故折矩句廣三股修四徑隅五既外半其矩環(huán)共盤三四五兩矩共二十五謂積矩故禹所治者數(shù)所 周公古代伏羲(包犧)構(gòu)造周歷度事跡思議(階升尺寸度)請教商高數(shù)知識何于商高勾股定理證明例解釋數(shù)知識由 《周髀算經(jīng)》證明步驟數(shù)于圓圓于于矩矩于九九八十:解釋發(fā)展脈絡(luò)--數(shù)于圓(圓周率三)(四)圓于(圓形面積=外接形*圓周率/4)于矩(形源自兩邊相等矩)矩于九九八十(乘寬面積計算依自九九乘表) 故折矩①句廣三股修四徑隅五:始做圖--選擇 勾三(圓周率三)、股四(四) 矩矩兩條邊終點連線應(yīng)5(徑隅五) ②既外半其矩環(huán)共盤三四五:關(guān)鍵證明程--矩兩條邊畫形(勾、股)根據(jù)矩弦外面再畫矩(曲尺實際用作直角三角)外半其矩三角形剪環(huán)繞復(fù)制形形看其 邊三勾、邊四股、邊五弦 三形 兩矩共③二十五謂積矩:驗算--勾、股面積與弦面積二十五相等--圖形看形減四三角形面積弦再 形 減 右、左兩形面積 勾股三角形形面積半推 四三角形面積 等于 右、左兩形面積所 勾+股=弦 注意: ① 矩稱曲尺L型木匠工具由短兩根木條組直角古代矩指L型曲尺矩形才矩衍形 ② 既外半其矩句爭議清代四庫全書版定既其外半矩前版本既外半其矩經(jīng)陳良佐[3]、李偉[4]、李繼閔[5]、曲安京[1]等者研究既外半其矩更符合邏輯 ③ 指面積古代同維度量綱比較并沒發(fā)明新術(shù)語統(tǒng)稱趙爽注稱:兩矩者, 句股各自乘實共者, 并實數(shù) 由于代久遠(yuǎn)周公弦圖失傳傳世版本印趙爽弦圖(造紙術(shù)漢代才發(fā)明)所某些者誤商高沒證明(說段莫名其妙)趙爽才給證明 其實摘錄趙爽注釋《周髀算經(jīng)》所做《句股圓圖》[2]--句股各自乘, 并弦實, 除即弦案:弦圖句股相乘朱實二, 倍朱實四, 句股差自相乘黃實, 加差實亦弦實 趙爽弦圖注意案弦圖、亦弦實亦二字表示趙爽認(rèn)勾股定理用另種證明于給新證明 趙爽證明-- 青朱入圖三角形直角三角形勾a邊形朱股b邊形青盈補虛朱、青并弦依其面積關(guān)系a^2+b^2=c^2.由于朱、青各部玄內(nèi)部 勾邊形朱股邊形青盈補虛要圖朱(a2)I移至I′青II移至II′III移至III′則剛拼弦邊形(c……2 ).由便證a^+b^2=c^2;。

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