關(guān)于舒爾不等式取等條件，舒爾不等式這個(gè)問題很多朋友還不知道，今天小六來為大家解答以上的問題，現(xiàn)在讓我們一起來看看吧！
1、舒爾（Schur）不等式 說明，對(duì)于所有的非負(fù)實(shí)數(shù)x、y、z和正數(shù)t，都有：已知x,y,z>=0 則∑(x^t)(x-y)(x-z)>=0 當(dāng)且僅當(dāng)x = y = z，或其中兩個(gè)數(shù)相等而另外一個(gè)為零時(shí)，等號(hào)“=”成立。
2、當(dāng)t是正的偶數(shù)時(shí)，不等式對(duì)所有的實(shí)數(shù)x、y和z都成立。
3、 舒爾(schur)不等式的證明： 不妨設(shè)x>=y>=z ∑x(x-y)(x-z) =x(x-y)(x-z)+y(y-x)(y-z)+z(z-x)(z-y) >=x(x-y)(x-z)+y(y-x)(y-z) >=x(x-y)(y-z)+y(y-x)(y-z) =(x-y)^2(y-z) >=0 t不是1時(shí)同理可證 事實(shí)上，當(dāng)t為任意實(shí)數(shù)時(shí)，我們?nèi)钥勺C明Schur不等式成立。
4、 Schur不等式雖不是聯(lián)賽大綱中規(guī)定掌握的不等式，但在聯(lián)賽不等式證明題中仍能發(fā)揮重要作用。
5、赫爾德不等式是數(shù)學(xué)分析的一條不等式，取名自?shī)W圖·赫爾德(Otto H?lder)。
6、這是一條揭示Lp空間的相互關(guān)系的基本不等式：設(shè)S為測(cè)度空間，，及，設(shè)f在Lp(S)內(nèi)，g在Lq(S)內(nèi)。
7、則f g在L1(S)內(nèi)，且有。
8、 若S取作{1,...,n}附計(jì)數(shù)測(cè)度，便得赫爾德不等式的特殊情形：對(duì)所有實(shí)數(shù)（或復(fù)數(shù)）x1, ..., xn; y1, ..., yn，有。
9、 我們稱p和q互為赫爾德共軛。
10、若取S為自然數(shù)集附計(jì)數(shù)測(cè)度，便得與上類似的無(wú)窮級(jí)數(shù)不等式。
11、當(dāng)p = q = 2，便得到柯西-施瓦茨不等式。
12、赫爾德不等式可以證明Lp空間上一般化的三角不等式，閔可夫斯基不等式，和證明Lp空間是Lq空間的對(duì)偶。
13、[編輯] 備注 在赫爾德共軛的定義中，1/∞意味著零。
14、 如果1 ≤ p，q < ∞，那么||f ||p和||g||q表示（可能無(wú)窮的）表達(dá)式： 以及 如果p = ∞，那么||f ||∞表示|f |的本性上確界，||g||∞也類似。
15、 在赫爾德不等式的右端，0乘以∞以及∞乘以0意味著 0。
16、把a(bǔ) > 0乘以∞，則得出 ∞。
17、 [編輯] 證明 赫爾德不等式有許多證明，主要的想法是楊氏不等式。
18、如果||f ||p = 0，那么f μ-幾乎處處為零，且乘積fg μ-幾乎處處為零，因此赫爾德不等式的左端為零。
19、如果||g||q = 0也是這樣。
20、因此，我們可以假設(shè)||f ||p > 0且||g||q > 0。
21、如果||f ||p = ∞或||g||q = ∞，那么不等式的右端為無(wú)窮大。
22、因此，我們可以假設(shè)||f ||p和||g||q位于(0,∞)內(nèi)。
23、如果p = ∞且q = 1，那么幾乎處處有|fg| ≤ ||f ||∞ |g|，不等式就可以從勒貝格積分的單調(diào)性推出。
24、對(duì)于p = 1和q = ∞，情況也類似。
25、因此，我們還可以假設(shè)p, q ∈ (1,∞)。
26、分別用f和g除||f ||p||g||q，我們可以假設(shè)：我們現(xiàn)在使用楊氏不等式：對(duì)于所有非負(fù)的a和b，當(dāng)且僅當(dāng)ap = bq時(shí)等式成立。
27、因此：兩邊積分，得：這便證明了赫爾德不等式。
28、在p ∈ (1,∞)和||f ||p = ||g||q = 1的假設(shè)下，等式成立當(dāng)且僅當(dāng)幾乎處處有|f |p = |g|q。
29、更一般地，如果||f ||p和||g||q位于(0,∞)內(nèi)，那么赫爾德不等式變?yōu)榈仁?，?dāng)且僅當(dāng)存在α, β > 0（即α = ||g||q且β = ||f ||p），使得：μ-幾乎處處 (*) ||f ||p = 0的情況對(duì)應(yīng)于(*)中的β = 0。
30、||g||q = 的情況對(duì)應(yīng)于(*)中的α = 0。
31、****************************希望對(duì)你有用。
本文分享完畢，希望對(duì)大家有所幫助。
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