幾何學(xué)的發(fā)展（幾何學(xué)）

關(guān)于幾何學(xué)的發(fā)展，幾何學(xué)這個(gè)問(wèn)題很多朋友還不知道，今天小六來(lái)為大家解答以上的問(wèn)題，現(xiàn)在讓我們一起來(lái)看看吧！

1、非歐幾何】 非歐幾何學(xué)是一門(mén)大的數(shù)學(xué)分支，一般來(lái)講 ，他有廣義、狹義、通常意義這三個(gè)方面的不同含義。

2、所謂廣義式泛指一切和歐幾里的幾何學(xué)不同的幾何學(xué)，狹義的非歐幾何只是指羅式幾何來(lái)說(shuō)的，至于通常意義的非歐幾何，就是指羅式幾何和黎曼幾何這兩種幾何。

3、 歐幾里得的《幾何原本》提出了五條公設(shè)，長(zhǎng)期以來(lái)，數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)第五公設(shè)和前四個(gè)公設(shè)比較起來(lái)，顯得文字?jǐn)⑹鋈唛L(zhǎng)，而且也不那么顯而易見(jiàn)。

4、 有些數(shù)學(xué)家還注意到歐幾里得在《幾何原本》一書(shū)中直到第二十九個(gè)命題中才用到，而且以后再也沒(méi)有使用。

5、也就是說(shuō)，在《幾何原本》中可以不依*第五公設(shè)而推出前二十八個(gè)命題。

6、 因此，一些數(shù)學(xué)家提出，第五公設(shè)能不能不作為公設(shè)，而作為定理?能不能依*前四個(gè)公設(shè)來(lái)證明第五公設(shè)?這就是幾何發(fā)展史上最著名的，爭(zhēng)論了長(zhǎng)達(dá)兩千多年的關(guān)于“平行線理論”的討論。

7、 由于證明第五公設(shè)的問(wèn)題始終得不到解決，人們逐漸懷疑證明的路子走的對(duì)不對(duì)?第五公設(shè)到底能不能證明? 到了十九世紀(jì)二十年代，俄國(guó)喀山大學(xué)教授羅巴切夫斯基在證明第五公設(shè)的過(guò)程中，他走了另一條路子。

8、他提出了一個(gè)和歐式平行公理相矛盾的命題,用它來(lái)代替第五公設(shè)，然后與歐式幾何的前四個(gè)公設(shè)結(jié)合成一個(gè)公理系統(tǒng)，展開(kāi)一系列的推理。

9、他認(rèn)為如果這個(gè)系統(tǒng)為基礎(chǔ)的推理中出現(xiàn)矛盾，就等于證明了第五公設(shè)。

10、我們知道，這其實(shí)就是數(shù)學(xué)中的反證法。

11、 但是，在他極為細(xì)致深入的推理過(guò)程中，得出了一個(gè)又一個(gè)在直覺(jué)上匪夷所思，但在邏輯上毫無(wú)矛盾的命題。

12、最后，羅巴切夫斯基得出兩個(gè)重要的結(jié)論: 第一，第五公設(shè)不能被證明。

13、 第二，在新的公理體系中展開(kāi)的一連串推理，得到了一系列在邏輯上無(wú)矛盾的新的定理，并形成了新的理論。

14、這個(gè)理論像歐式幾何一樣是完善的、嚴(yán)密的幾何學(xué)。

15、 這種幾何學(xué)被稱(chēng)為羅巴切夫斯基幾何，簡(jiǎn)稱(chēng)羅氏幾何。

16、這是第一個(gè)被提出的非歐幾何學(xué)。

17、 從羅巴切夫斯基創(chuàng)立的非歐幾何學(xué)中，可以得出一個(gè)極為重要的、具有普遍意義的結(jié)論:邏輯上互不矛盾的一組假設(shè)都有可能提供一種幾何學(xué)。

18、 幾乎在羅巴切夫斯基創(chuàng)立非歐幾何學(xué)的同時(shí)，匈牙利數(shù)學(xué)家鮑耶·雅諾什也發(fā)現(xiàn)了第五公設(shè)不可證明和非歐幾何學(xué)的存在。

19、鮑耶在研究非歐幾何學(xué)的過(guò)程中也遭到了家庭、社會(huì)的冷漠對(duì)待。

20、他的父親--數(shù)學(xué)家鮑耶·法爾卡什認(rèn)為研究第五公設(shè)是耗費(fèi)精力勞而無(wú)功的蠢事，勸他放棄這種研究。

21、但鮑耶·雅諾什堅(jiān)持為發(fā)展新的幾何學(xué)而辛勤工作。

22、終于在1832年，在他的父親的一本著作里，以附錄的形式發(fā)表了研究結(jié)果。

23、 那個(gè)時(shí)代被譽(yù)為“數(shù)學(xué)王子”的高斯也發(fā)現(xiàn)第五公設(shè)不能證明，并且研究了非歐幾何。

24、但是高斯害怕這種理論會(huì)遭到當(dāng)時(shí)教會(huì)力量的打擊和迫害，不敢公開(kāi)發(fā)表自己的研究成果，只是在書(shū)信中向自己的朋友表示了自己的看法，也不敢站出來(lái)公開(kāi)支持羅巴切夫斯基、鮑耶他們的新理論。

25、羅式幾何 羅式幾何學(xué)的公理系統(tǒng)和歐式幾何學(xué)不同的地方僅僅是把歐式幾何平行公理用“從直線外一點(diǎn)，至少可以做兩條直線和這條直線平行”來(lái)代替，其他公理基本相同。

26、由于平行公理不同，經(jīng)過(guò)演繹推理卻引出了一連串和歐式幾何內(nèi)容不同的新的幾何命題。

27、 我們知道，羅式幾何除了一個(gè)平行公理之外采用了歐式幾何的一切公理。

28、因此，凡是不涉及到平行公理的幾何命題，在歐式幾何中如果是正確的，在羅式幾何中也同樣是正確的。

29、在歐式幾何中，凡涉及到平行公理的命題，再羅式幾何中都不成立，他們都相應(yīng)地含有新的意義。

30、下面舉幾個(gè)例子加以說(shuō)明: 歐式幾何 同一直線的垂線和斜線相交。

31、 垂直于同一直線的兩條直線或向平行。

32、存在相似的多邊形。

33、 過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)可以做且僅能做一個(gè)圓。

34、羅式幾何 同一直線的垂線和斜線不一定相交。

35、垂直于同一直線的兩條直線，當(dāng)兩端延長(zhǎng)的時(shí)候，離散到無(wú)窮。

36、 不存在相似的多邊形。

37、 過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)，不一定能做一個(gè)圓。

38、從上面所列舉得羅式幾何的一些命題可以看到，這些命題和我們所習(xí)慣的直觀形象有矛盾。

39、所以羅式幾何中的一些幾何事實(shí)沒(méi)有象歐式幾何那樣容易被接受。

40、但是，數(shù)學(xué)家們經(jīng)過(guò)研究，提出可以用我們習(xí)慣的歐式幾何中的事實(shí)作一個(gè)直觀“模型”來(lái)解釋羅式幾何是正確的。

41、 1868年，意大利數(shù)學(xué)家貝特拉米發(fā)表了一篇著名論文《非歐幾何解釋的嘗試》，證明非歐幾何可以在歐幾里得空間的曲面(例如擬球曲面)上實(shí)現(xiàn)。

42、這就是說(shuō)，非歐幾何命題可以“翻譯”成相應(yīng)的歐幾里得幾何命題，如果歐幾里得幾何沒(méi)有矛盾，非歐幾何也就自然沒(méi)有矛盾。

43、 人們既然承認(rèn)歐幾里是沒(méi)有矛盾的，所以也就自然承認(rèn)非歐幾何沒(méi)有矛盾了。

44、直到這時(shí)，長(zhǎng)期無(wú)人問(wèn)津的非歐幾何才開(kāi)始獲得學(xué)術(shù)界的普遍注意和深入研究，羅巴切夫斯基的獨(dú)創(chuàng)性研究也就由此得到學(xué)術(shù)界的高度評(píng)價(jià)和一致贊美，他本人則被人們贊譽(yù)為“幾何學(xué)中的哥白尼”。

45、黎曼幾何 歐氏幾何與羅氏幾何中關(guān)于結(jié)合公理、順序公理、連續(xù)公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一樣。

46、歐式幾何講“過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行”。

47、羅氏幾何講“過(guò)直線外一點(diǎn)至少存在兩條直線和已知直線平行”。

48、那么是否存在這樣的幾何“過(guò)直線外一點(diǎn)，不能做直線和已知直線平行”?黎曼幾何就回答了這個(gè)問(wèn)題。

49、 黎曼幾何是德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼創(chuàng)立的。

50、他在1851年所作的一篇論文《論幾何學(xué)作為基礎(chǔ)的假設(shè)》中明確的提出另一種幾何學(xué)的存在，開(kāi)創(chuàng)了幾何學(xué)的一片新的廣闊領(lǐng)域。

51、 黎曼幾何中的一條基本規(guī)定是:在同一平面內(nèi)任何兩條直線都有公共點(diǎn)(交點(diǎn))。

52、在黎曼幾何學(xué)中不承認(rèn)平行線的存在，它的另一條公設(shè)講:直線可以無(wú)限演唱，但總的長(zhǎng)度是有限的。

53、黎曼幾何的模型是一個(gè)經(jīng)過(guò)適當(dāng)“改進(jìn)”的球面。

54、 近代黎曼幾何在廣義相對(duì)論里得到了重要的應(yīng)用。

55、在物理學(xué)家愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論中的空間幾何就是黎曼幾何。

56、在廣義相對(duì)論里，愛(ài)因斯坦放棄了關(guān)于時(shí)空均勻性的觀念，他認(rèn)為時(shí)空只是在充分小的空間里以一種近似性而均勻的，但是整個(gè)時(shí)空卻是不均勻的。

57、在物理學(xué)中的這種解釋?zhuān)∏∈呛屠杪鼛缀蔚挠^念是相似的。

58、 此外，黎曼幾何在數(shù)學(xué)中也是一個(gè)重要的工具。

59、它不僅是微分幾何的基礎(chǔ)，也應(yīng)用在微分方程、變分法和復(fù)變函數(shù)論等方面。

60、三種幾何的關(guān)系 歐氏幾何、羅氏幾何、黎曼幾何是三種各有區(qū)別的幾何。

61、這三中幾何各自所有的命題都構(gòu)成了一個(gè)嚴(yán)密的公理體系，各公理之間滿足和諧性、完備性和獨(dú)立性。

62、因此這三種幾何都是正確的。

63、 在我們這個(gè)不大不小、不遠(yuǎn)不近的空間里，也就是在我們的日常生活中，歐式幾何是適用的;在宇宙空間中或原子核世界，羅氏幾何更符合客觀實(shí)際;在地球表面研究航海、航空等實(shí)際問(wèn)題中，黎曼幾何更準(zhǔn)確一些。

本文分享完畢，希望對(duì)大家有所幫助。

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